四元数的提出人是哈密顿，他是爱尔兰历史上最伟大的数学家，就数学而言，在英国及爱尔兰地区的历史地位仅次于牛顿。哈密顿在数学上最大的贡献就是发明了大名鼎鼎的四元数。
哈密顿发现四元数的故事，非常精彩，起源于他的灵光一闪，这可以由他自己写的回忆佐证。1843年的10月16日，哈密顿和夫人散步来到一座桥时，他驻足思考良久，突然间幸运女神降临，哈密顿想清楚了四元数乘法定义的所有关键细节。兴奋不已的哈密顿赶紧拿出随身携带的笔记本将细节写下来，四元数便这么诞生了！
四元数的基本形式为：
$$a+bi+cj+dk | a,b,c,d \in R$$
说明：$a,b,c,d$属于实数，其$a$为数量部分，$bi+cj+dk$为向量部分，其中的$i,j,k$类似于虚数。它们之间的加法完全和复数一样，而定义$i,j,k$的乘积法则如下：
$$jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j,ij=k,ji=-k$$
$$i^2=j^2=k^2=-1$$
四元数的问世极大地震撼了当时的数学界，原因就在于它的非交换性。交换性在数学家的眼中是代数的固有性质，而这样的非交换代数的横空出世冲垮了许多人的心理防线。哈密顿本人对这个来之不易的四元数极其珍视，认为它将和微积分一样在数学和物理中发挥重要的作用。正如哈密顿所预料的那样，随着技术的发展，四元数被广泛用在很多物理和生产场景。