似然函数是衡量一个统计模型在给定观测数据下，其参数合理性的一种度量。它告诉我们，在不同的参数取值下，我们当前观测到的这组数据"有多大可能"会发生。
要理解似然函数，关键在于区分 "概率" 和 "似然"：
概率：在已知参数（例如，已知一枚硬币是均匀的，正面概率p=0.5）的情况下，预测未来观测结果的可能性。我们经常碰到的概率问题往往是这样的：给定p=0.5，抛掷10次得到6次正面的概率值是多少？
似然：在已知观测结果（例如，我们抛掷了10次，得到了6次正面）的情况下，反过来评估不同参数的可能性。我们经常碰到的似然问题往往是这样的：我们观测到了"10次里出6次正面"这个结果，那么正面概率p=0.5、p=0.6、p=0.7... 的似然值分别是多少？
综上所述，我们可以得出结论：概率是"由因推果"，而似然是"由果探因"。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。
假设我们抛一枚硬币10次，观察到有6次是正面（Head），4次是反面（Tail）。我们想知道这枚硬币是均匀的吗？即正面的概率 p 是多少？
因为每次抛掷是独立的伯努利试验，正面概率为 p。那么，得到6次正面的概率（即似然函数）是：
L(p) = P(6次正面 | 抛硬币10次) = C(10, 6) · p⁶ · (1-p)⁴
其中 C(10, 6) 是组合数，是一个常数，可以忽略，因为与参数p无关。
如果硬币是均匀的，即p = 0.5，则计算出的似然值是：
L(0.5) ∝ 0.5⁶ · 0.5⁴ = 0.000976
如果硬币的 p = 0.6（正好等于观测到的正面比例），则计算出的似然值是：
L(0.6) ∝ 0.6⁶ · 0.4⁴ ≈ 0.001194
如果硬币的 p = 0.1（几乎总是反面），则计算出的似然值是：
L(0.1) ∝ 0.1⁶ · 0.9⁴ ≈ 0.000000066
比较这些值，我们发现 L(0.6) > L(0.5) > L(0.1)。这意味着，在观测到"10次里出6次正面"这个数据后，参数 p=0.6 的似然最高。也就是说，在所有可能的 p 中，p=0.6 这个值让当前观测到的数据最有可能发生。
上述例子自然地引出了统计学中一个极其重要的概念——最大似然估计。
最大似然估计 的核心思想就是：找到一个参数值，使得似然函数的值达到最大。因为这个参数值能最好地解释我们当前观测到的数据。
在上面的例子中，p = 0.6 就是参数 p 的最大似然估计值。这非常直观，因为观测到的正面比例就是 6/10 = 0.6。