欧几里得范数（Euclidean norm），也称为 2-范数 或 L2范数，是向量空间中衡量向量长度的一种方式。对于一个 $ n $-维向量 $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n) $，其欧几里得范数定义为：
$$ |\mathbf{x}|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} $$
1、 衡量向量的长度： 欧几里得范数最直观的用途是计算向量在几何空间中的长度。例如，在二维或三维空间中，它对应的是点到原点的距离。
2、 距离度量： 在机器学习和数据科学中，欧几里得范数常用于计算两个向量之间的欧几里得距离（Euclidean distance），即： $$ d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = |\mathbf{x} - \mathbf{y}|_2 = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2} $$ 这种距离度量广泛应用于聚类算法（如K-means）和相似性分析。
3、 优化问题： 在优化问题中，欧几里得范数常用于定义目标函数或约束条件。例如，最小二乘法（Least Squares）的目标是最小化误差的欧几里得范数。
4、 正则化： 在机器学习中，L2正则化（也称为岭回归）使用欧几里得范数来惩罚模型参数的复杂度，从而防止过拟合。
5、 几何和物理中的应用： 在几何学中，欧几里得范数用于定义向量的长度和角度。而在物理学中，它用于计算力、速度等向量的模。
欧几里得范数因其几何意义和数学性质，在科学和工程中应用广泛。