导读：对数仅是一种数值表示方法，它并没有改变原有的计算法则，也就是说1+1仍然等于2，即便1用对数来表示，也无法改变原有的计算法则。
对数跟指数没有任何关系，因为对数提出之后20多年才发明了指数。是欧拉提出了“指数与对数的互逆关系”，从而使人们的意识中将对数与指数绑定到一起。但是，这种绑定也有一定的弊端，限制了人们对对数的使用，对数的发明初衷是引入了一种新的表示方法，也就是说，对数可以表示万物（万数），它可以自由的存在，并不受指数的束缚。
当时处于天文和航海时代，数据特别的大，而对数这种表示方法比原先的表示法更方便，这就是它的诞生背景，它可以表示万物（万数）的根源所在。
我们知道，在数学中，对数是对指数的逆运算，正如除法是乘法的逆运算，反之亦然。但实际上，对数的发明先于指数，成为数学史上的一大奇闻。
对数的定义是这样的：如果$a$的$x$次方等于$N$（$a>0$，且$a\ne1$），那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$ x = log_aN$。其中，$a$叫做对数的底数，$N$叫做真数。
对数的发明人是约翰·纳皮尔，当时的时代背景是16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。经过对运算体系的多年研究，纳皮尔在1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，书中借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。
对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立称为17世纪数学的三大成就，伽利略也说过：给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。
根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表都不再重要了，但是，对数的思想方法却仍然具有生命力。
将对数加以改造使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯，他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了以10为底的常用对数。由于所用的数系是十进制，因此它在数值上计算具有优越性。1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底的常用对数表。
常用对数，亦称为“十进对数”，是一种重要的数学工具，它是以10为底的对数。正数N的常用对数可记为$log_{10}N$，常省去底数10后简记为$lgN$。任何一个正数的常用对数都可写成一个整数(正整数、零、负整数)加上一个正的纯小数(或者零)的形式，整数部分称为常用对数的首数，正的纯小数(或零)的部分称为这个常用对数的尾数。例如，$lg340.8\approx 2.5325 = 2 + 0.5325$，首数是$2$，尾数是$0.5325$
常用对数除了具有一般对数性质外，尚有如下特殊性质：
（1）若$1 \lt N \lt 10$，则$lgN$是一个正的纯小数。
（2）若$N = 10^n$(n为整数)，则$lgN = n$。
（3）若$N = a \cdot 10^n$(n为整数,$1 \leqslant a \lt 10$)，则$lgN = n+$正纯小数(或零)，其中整数部分n称为首数，正纯小数(或零)称为尾数。
在计算机发明以前，以10为底的对数在复杂的数值计算中是常用的工具，故有常用对数之名。布里格斯首先提出将对数改良为便于计算的以10为底的常用对数。为了纪念他，常用对数亦命名为布里格斯对数。
纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，造成这种状况的主要原因是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年才由法国数学家笛卡儿开始使用。直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中，欧拉首先使用$ x = log_ay$来定义对数，他指出：对数源于指数。对数的发明先于指数，成为数学史上的一大奇闻。
概率是个取值在[0,1]之间的数值，而对数函数的底数只好也属于此范围，如上下图所示，可以说，对数和概率存在某种特殊的关系，因此对数函数贯穿了《概率与统计》，《信息论》这两大学科，它是非常重要的。
