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前言

考研数学，从来不是智力的较量，而是方法、记忆与熟练度的博弈。在这场每年数百万人的竞争中，真正拉开差距的，往往不是谁做对了最后一道压轴题，而是谁能在考场上快速、准确、不犹豫地调用每一个核心公式。

这篇《考研数学公式大全（核心精华版）》，是我在系统梳理高等数学、线性代数、概率论与数理统计三大模块的基础上，去冗存精、直击考点的浓缩之作。它既不是一本面面俱到的教材，也不是一本只有目录的工具书——它是一份为你应试冲刺量身定制的“公式地图”。

你在其中会看到：

• 高等数学：两个重要极限、等价无穷小、泰勒展开、积分技巧、多元微分、二重积分、微分方程——覆盖数一/二/三的高频基石；
• 线性代数：行列式展开、矩阵求逆、施密特正交化、特征值性质、相似对角化——打通抽象与计算的任督二脉；
• 概率论与数理统计：全概率与贝叶斯、六大常见分布、数字特征、协方差与相关系数——拿稳概率部分的“必得分”；
• 数一专项：向量代数、格林/高斯/斯托克斯公式、傅里叶级数——为高分选手补全最后一公里。

我深知，考研复习的后期，时间比黄金更贵。因此，本文只收录那些“考场上必须脱口而出”的结论，并配有清晰的符号与结构，方便你随时随地翻阅、默写、自测。反复看三遍，动手推一遍，考前再过一遍——这不仅是记忆策略，更是应试自信的来源。

无论你正处于强化阶段的查漏补缺，还是冲刺阶段的快速回温，这文都希望能成为你案头常翻、考前必看的那份“压舱石”。公式是死的，但运用是活的。愿你在掌握这些核心工具之后，能把它变成解题时最锋利的刃。

考研路上，少即是多，熟即是快。祝你下笔有神，一研为定。

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第一部分：高等数学

1、函数、极限与连续

• 两个重要极限： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$ $$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e $$

• 等价无穷小（$x \to 0$ 时）： $$ \sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x $$ $$ \ln(1+x) \sim x, \quad e^x - 1 \sim x, \quad a^x - 1 \sim x\ln a $$ $$ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad (1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x $$

• 间断点类型：第一类（可去、跳跃），第二类（无穷、振荡）。

2、导数与微分

• 基本求导公式： $$ (x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}, \quad (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x $$ $$ (\tan x)' = \sec^2 x, \quad (\cot x)' = -\csc^2 x $$ $$ (\sec x)' = \sec x \tan x, \quad (\csc x)' = -\csc x \cot x $$ $$ (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ (e^x)' = e^x, \quad (a^x)' = a^x\ln a $$ $$ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}, \quad (\mathrm{arccot}\, x)' = -\frac{1}{1+x^2} $$

• 高阶导数（莱布尼茨公式）： $$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} $$

• 常用高阶导数： $$ (\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right), \quad (\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $$ $$ \left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}} $$

3、中值定理与泰勒公式

• 泰勒公式（麦克劳林展开）： $$ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) $$

• 必背展开式： $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) $$ $$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) $$ $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) $$ $$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) $$ $$ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) $$

4、积分

• 基本积分表（略，与导数互为逆运算）。

• 常用凑微分： $$ \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C $$ $$ \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C $$ $$ \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C $$

• 区间再现公式（对称性）： $$ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x)dx $$ $$ \int_{-a}^{a} f(x)dx = \begin{cases} 0, & f(x) \text{ 为奇函数} \\ 2\displaystyle\int_{0}^{a} f(x)dx, & f(x) \text{ 为偶函数} \end{cases} $$

• 定积分定义求极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx $$

5、多元函数微分学

• 全微分： $$ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy $$

• 隐函数求导：若 $F(x,y)=0$，则 $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} $$

• 方向导数（数一）： $$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = f_x \cos\alpha + f_y \cos\beta + f_z \cos\gamma $$

• 拉格朗日乘数法：求 $z=f(x,y)$ 在 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值，令 $L = f(x,y) + \lambda \varphi(x,y)$，解 $L_x=0$，$L_y=0$，$L_\lambda=0$。

6、二重积分（数二、数三核心，数一部分）

• 极坐标变换： $$ dxdy = \rho \, d\rho \, d\theta $$

• 常用极坐标曲线：

  • 圆 $x^2+y^2=a^2 \Rightarrow \rho = a$
  • 圆 $x^2+(y-a)^2=a^2 \Rightarrow \rho = 2a\sin\theta$
  • 圆 $(x-a)^2+y^2=a^2 \Rightarrow \rho = 2a\cos\theta$

7、微分方程

• 一阶线性：$y' + P(x)y = Q(x)$ $$ y = e^{-\int P \, dx} \left[ \int Q e^{\int P \, dx} dx + C \right] $$

• 二阶常系数齐次：$y'' + py' + qy = 0$

  • 特征方程：$r^2 + pr + q = 0$
  • 两不等实根 $r_1 \neq r_2$：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
  • 重根 $r_1 = r_2$：$y = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$
  • 共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$：$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

• 二阶常系数非齐次特解形式：

  • $f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$：设 $y^* = x^k Q_m(x) e^{\lambda x}$（$k$ 为 $\lambda$ 是特征根的重数）
  • $f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x + P_n(x)\sin \omega x]$：设 $y^* = x^k e^{\lambda x}[R_m(x)\cos \omega x + S_m(x)\sin \omega x]$（$k$ 为 $\lambda + i\omega$ 是特征根的重数）

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第二部分：线性代数

1、行列式

• 展开定理（按行/列展开）： $$ |A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \ldots + a_{in}A_{in} \quad \text{（其中 } A_{ij} \text{ 为代数余子式）} $$

• 特殊行列式：

  • 上/下三角：等于主对角线元素乘积。
  • 范德蒙德行列式： $$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \ldots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \ldots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j) $$

2、矩阵

• 伴随矩阵：$AA^* = A^*A = |A|E$；若 $|A| \neq 0$，则 $A^* = |A|A^{-1}$；$|A^*| = |A|^{n-1}$（$n \ge 2$）。

• 逆矩阵： $$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* $$ 二阶矩阵求逆（两调一除，主换副变）： $$ A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} $$

• 分块矩阵求逆： $$ \begin{pmatrix} A & O \ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \ O & B^{-1} \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} O & A \ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \ A^{-1} & O \end{pmatrix} $$

3、向量

• 线性相关与无关：

  • $n$ 个 $n$ 维向量线性相关 $\iff$ 行列式 $=0$。
  • 向量组线性无关 $\iff$ 秩等于向量个数。

• 施密特正交化： $$ \beta_1 = \alpha_1 $$ $$ \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 $$ $$ \beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2 $$

4、特征值与特征向量

• 定义：$A\alpha = \lambda \alpha$

• 性质：

  • $\sum \lambda_i = \mathrm{tr}(A)$（迹）
  • $\prod \lambda_i = |A|$
  • $A^k$ 的特征值为 $\lambda^k$；$A^{-1}$ 的特征值为 $1/\lambda$；$A^*$ 的特征值为 $|A|/\lambda$。

• 相似对角化：$A$ 可对角化 $\iff$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\iff$ $k$ 重特征值有 $k$ 个线性无关特征向量。

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第三部分：概率论与数理统计（数一、数三）

1、概率公式

• 条件概率： $$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} $$

• 乘法公式： $$ P(AB) = P(A)P(B|A) $$

• 全概率公式（$B_i$ 为完备事件组）： $$ P(A) = \sum_i P(B_i)P(A|B_i) $$

• 贝叶斯公式： $$ P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_j P(B_j)P(A|B_j)} $$

• 独立性： $$ P(AB) = P(A)P(B) $$

2、常见分布

• 0-1分布： $$ E(X)=p, \quad D(X)=p(1-p) $$

• 二项分布 $X \sim B(n,p)$： $$ P{X=k} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $$ $$ E(X)=np, \quad D(X)=np(1-p) $$

• 泊松分布 $X \sim P(\lambda)$： $$ P{X=k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\ldots $$ $$ E(X)=D(X)=\lambda $$

• 均匀分布 $X \sim U(a,b)$： $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a < x < b \\[0.5em] 0, & \text{其他} \end{cases} $$ $$ E(X)=\frac{a+b}{2}, \quad D(X)=\frac{(b-a)^2}{12} $$

• 指数分布 $X \sim E(\lambda)$： $$ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \ 0, & x \le 0 \end{cases} $$ $$ E(X)=\frac{1}{\lambda}, \quad D(X)=\frac{1}{\lambda^2} $$

• 正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$： $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$ $$ E(X)=\mu, \quad D(X)=\sigma^2 $$

• 标准化： $$ \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1) $$

3、数字特征

• 期望性质： $$ E(aX+b) = aE(X)+b $$ $$ E(X+Y)=E(X)+E(Y) $$ 独立时： $$ E(XY)=E(X)E(Y) $$

• 方差性质： $$ D(aX+b)=a^2D(X) $$ $$ D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y) $$

• 协方差： $$ \mathrm{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) $$

• 相关系数： $$ \rho_{XY} = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} $$

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附录：常用补充公式（数一专项）

1、空间解析几何与向量代数

• 向量积（叉积）：$\vec{a} \times \vec{b}$ 的模 $= |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

• 混合积：$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$，其绝对值等于平行六面体体积。共面 $\iff$ 混合积 $=0$。

• 平面方程：点法式 $$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 $$

• 直线方程： $$ \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} $$

2、曲线曲面积分（数一）

• 格林公式： $$ \oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy $$

• 高斯公式： $$ \iint_{\Sigma} P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV $$

• 斯托克斯公式： $$ \oint_{\Gamma} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\\ P & Q & R \end{vmatrix} $$

3、级数（数一、数三）

• 常数项级数审敛：

  • 正项级数：比较判别法、比值判别法（达朗贝尔）、根值判别法（柯西）。
  • 交错级数：莱布尼茨判别法（单调递减且趋于0）。

• 幂级数收敛半径： $$ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \quad \text{或} \quad R = \frac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} $$

• 傅里叶级数（数一，周期 $2\pi$）： $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $$ $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx $$

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