《AI数学基础 • 极简入门教程》

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1 前言介绍

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2 高等数学

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3 线性代数

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4 概率论

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5 动手与实践

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为了让大家更加深刻理解线性变换，本文特意用大家都熟悉的三维空间来解释和说明。

本文中有两个矩阵，矩阵A表示三维空间，矩阵B表示新的三维空间。矩阵B的第一列就是原空间第一个基向量变换后的新坐标，第二列是第二个基向量的映射结果，以此类推。

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矩阵 A —— 原始三维空间（标准基）

通常原始空间用标准基表示，即三个互相垂直的单位向量：

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

• 第一列 $(1,0,0)^T$ 是 x 轴方向的基向量
• 第二列 $(0,1,0)^T$ 是 y 轴方向的基向量
• 第三列 $(0,0,1)^T$ 是 z 轴方向的基向量

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矩阵 B —— 变换后的新三维空间

矩阵 B是一个包含旋转 + 缩放的线性变换，让新空间更有实际意义：

$$ B = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$

解读各列的含义：

列	新坐标	含义
第1列	$(0, 1, 0)^T$	原 x 轴基向量 $(1,0,0)^T$ 被映射到了 y 轴方向
第2列	$(-2, 0, 1)^T$	原 y 轴基向量 $(0,1,0)^T$ 被映射到 x-z 平面，且长度变为 $\sqrt{5}$ 倍 【注释1】
第3列	$(1, 1, 2)^T$	原 z 轴基向量 $(0,0,1)^T$ 被映射到新方向并拉长

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验证：任意向量如何变换

假设原空间中有一个向量 $\vec{v} = (2, 3, 1)^T$，它在新空间中的坐标为：

$$ B \cdot \vec{v} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix} $$

这等价于：先把 $\vec{v}$ 用原基向量表示（2个x基+3个y基+1个z基），然后把每个基向量替换为它们在 B 中对应的新坐标。这样，矩阵 B 的每一列确实就是原空间对应基向量在新空间中的“归宿”。

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注释1

原 y 轴基向量是：

$$ \vec{e}_y = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $$

变换后的新坐标，B 矩阵的第二列。根据矩阵 B：

$$ B = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} $$

第二列就是 $(-2, 0, 1)^T$，所以：

$$ \text{变换后} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

计算长度

• 原基向量 $\vec{e}_y$ 的长度是 1。

• 变换后的向量长度为： $$ | \text{新向量} | = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236 $$

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