在线性代数的世界里，向量和矩阵是两个最基础却又最强大的概念。它们不仅是数学工具，更是理解多维空间和复杂变换的钥匙。
向量可以看作是一组有序的数字，用来表示空间中的一个点或一个方向。根据数字的排列方式，向量分为两种：
行向量：数字横向排列，如 $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$$
列向量：数字纵向排列，如 $$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$$
从数学本质上看，这两者表示的是同一个向量，只是书写形式不同。但在实际应用中，它们会影响到后续运算的规则和便利性。
在数学、物理和计算机科学等领域，列向量远比行向量常见。这并非偶然，主要基于以下几点：
第一，与矩阵乘法的自然配合。 矩阵乘法要求左侧矩阵的列数等于右侧矩阵的行数。当我们想用一个矩阵 $A$ 去变换一个向量 $\mathbf{v}$ 时，通常写成 $A\mathbf{v}$。如果 $\mathbf{v}$ 是列向量，乘法形式非常直观：矩阵在左，向量在右。如果 $\mathbf{v}$ 是行向量，就不得不写成 $\mathbf{v}^T A$ 或把矩阵转置，显得别扭。
第二，符合线性变换的书写习惯。 在线性代数中，我们习惯把线性变换写作 $\mathbf{y} = A\mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 都是列向量。这种形式简洁清晰，所有主流教科书和软件（如 MATLAB）都采用这种约定。
第三，列向量更利于表示多维数据。 在数据科学中，一个包含 $n$ 个特征的数据样本通常写成一个列向量，每一行代表一个特征。当多个样本组成数据集时，按列堆叠形成矩阵，每一列是一个样本，这种结构便于批量处理。
正因为这些原因，本书后续内容中如无特别说明，所说的“向量”均指列向量。
矩阵是一组数字按照行和列排列成的矩形阵列。一个 $m \times n$ 的矩阵有 $m$ 行、$n$ 列，比如：
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
矩阵可以看作是由多个列向量并排组成的，也可以看作是由多个行向量堆叠而成的。
矩阵最核心的作用是表示线性变换，也就是把一个空间中的向量映射到另一个空间。
想象二维平面上的所有点。如果我们用一个 $2 \times 2$ 的矩阵去乘每一个点的坐标向量，整个平面就会发生旋转、缩放、剪切、反射等变化。矩阵就是这个变换的“操作手册”。
更形式化地说，一个 $m \times n$ 矩阵定义了一个从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的映射：
$$ \mathbf{y} = A\mathbf{x} $$
其中 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m$。这里的 $A$ 就像一台机器，把 $n$ 维空间中的向量加工成 $m$ 维空间中的新向量。
当我们说一个矩阵表示线性变换时，实际上它记录了在给定基底下，每个基向量被映射到了哪里。矩阵的第一列就是原空间第一个基向量变换后的新坐标，第二列是第二个基向量的映射结果，以此类推。这一理解方式非常有助于直观把握矩阵的几何意义。
给定一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 和一个 $n$ 维列向量 $\mathbf{x}$，它们的乘积 $A\mathbf{x}$ 是一个 $m$ 维列向量。计算方法如下：
将矩阵 $A$ 的每一行与向量 $\mathbf{x}$ 进行点积，结果作为新向量的对应分量：
$$ A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \end{bmatrix} $$
也可以用列向量的线性组合来理解：把矩阵 $A$ 的每一列当作一个向量，乘法的结果就是这些列向量分别乘以 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 后相加：
$$ A\mathbf{x} = x_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} + \cdots + x_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} $$
这两种视角在计算上是等价的，但后一种更清晰地揭示了矩阵乘法的几何本质。
接续上面“列向量线性组合”的思路，就能自然地理解这个作用。
矩阵 $A$ 的每一列，对应的是原空间基向量变换后在目标空间中的位置。向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$ 本身表示“将各基向量分别缩放 $x_i$ 倍然后组合起来”。变换后，这个组合规则不变，但所使用的基向量已经变成了 $A$ 的各列。因此，$A\mathbf{x}$ 就是原向量在新基下的坐标表示，也就是被映射到了新空间。
举个直观例子： 考虑二维空间中的矩阵 $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 和一个向量 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。 $A$ 的第一列 $(2, 0)^T$ 是原 $x$ 轴基向量被拉长到 2 倍的结果，第二列 $(0, 1)^T$ 保持不变。 $\mathbf{x}$ 原本表示 $x$ 轴基向量的 1 倍加上 $y$ 轴基向量的 1 倍。 经过 $A$ 变换后，变成了：$1 \cdot (2, 0)^T + 1 \cdot (0, 1)^T = (2, 1)^T$。 可见，向量在 $x$ 方向被拉伸了 2 倍，完成了空间的映射。
掌握了矩阵和向量的乘法后，自然会想：如果先用矩阵 $B$ 变换一个向量，再用矩阵 $A$ 变换结果，会怎样？这就引出了矩阵乘法，它本质上是线性变换的复合。
设 $B$ 是一个 $p \times n$ 的矩阵，$A$ 是一个 $m \times p$ 的矩阵。先施加 $B$ 的变换再施加 $A$ 的变换，最终效果相当于用一个矩阵 $C = AB$ 直接作用在向量上：
$$ A(B\mathbf{x}) = (AB)\mathbf{x} = C\mathbf{x} $$
矩阵乘法的计算规则是：$C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的点积。更几何化的理解是：$AB$ 的每一列，就是 $A$ 对 $B$ 的每一列分别进行变换后的结果。
这一性质非常强大，意味着无论多复杂的线性变换序列，都可以压缩成一个矩阵。例如，在计算机图形学中，物体的平移、旋转、缩放等操作可以各自用矩阵表示，将它们相乘得到一个综合变换矩阵，然后一次性对所有顶点进行变换，效率极高。
向量是我们描述空间位置和方向的工具，列向量因其与矩阵乘法的自然配合而成为主流选择。矩阵则是空间变换的载体，它通过每一列记录基向量的“去往何方”，从而定义了整个空间的映射规则。矩阵与向量的乘法，表面是数字的运算，实质是将向量从旧基底表示转换为新基底表示的过程。在这个意义上，每做一次矩阵乘法，我们都见证了一次空间的变形与重生。
评论专区
评论加载中...登录后即可发表评论